W czasie I wojny światowej walczył na froncie, a w 1919 r. rozpoczął studia filozoficzne na Uniwersytecie Warszawskim, kontynuując jednocześnie swoją edukację muzyczną z zakresu kompozycji u Juliusza Wertheima oraz z zakresu dyrygentury u Emila Młynarskiego. Klecki walczył w wojnie z bolszewikami w 1920 r., a potem podjął studia muzyczne w Berlinie, chcąc poświęcić się kompozycji, ale ostatecznie postawił na karierę dyrygencką. Skomponował ok. 30 utworów, w tym trzy symfonie i dwa koncerty (fortepianowy i skrzypcowy).
Od 1925 r. dyrygował sławną Berlińską Orkiestrą Filharmoniczną i innymi zespołami w Niemczech, skąd wyemigrował w 1933 r., najpierw do Włoch, potem do ZSRR, by w końcu osiąść w Szwajcarii. W połowie lat. 50. XX w. objął dyrekcję orkiestry Filharmonii w Liverpoolu, następnie pracował w Dallas Symphony Orchestra, a pod koniec życia kierował Orchestre de la Suisse Romande. Zmarł w Liverpoolu 5 marca 1973 r. W 50. rocznicę jego śmierci, przypadającą w 2023 r., Rada Miejska w Łodzi ustanowiła obecny rok Rokiem Pawła Kleckiego. Artysta należał do pokolenia utalentowanych i wybitnych łódzkich artystów żydowskiego pochodzenia obok m.in. Juliana Tuwima, Artura Szyka, Aleksandra Tansmana czy Artura Rubinsteina, z którym się przyjaźnił i występował w świecie.
